El criterio de Kelly: cuánto apostar cuando tenés ventaja

Traducción automática del original en inglés, todavía sin revisar. Leer el original.

El criterio de Kelly te dice qué parte de tu riqueza poner en una apuesta que esperás ganar. Elige la fracción que maximiza la tasa de crecimiento de tu riqueza a lo largo del tiempo, la tasa que realmente vivís cuando apostás una y otra vez con la misma plata. Para una apuesta que paga $b$ veces lo apostado con probabilidad $p$ y pierde lo apostado en el resto de los casos, la fracción de Kelly es $f^* = p - (1-p)/b$.

Este es el tercer texto de una serie. El primero explica por qué el resultado promedio no es el que vivís, y el segundo por qué tu retorno promedio exagera tu riqueza. Kelly es lo que hacés con las dos cosas.

#De dónde viene

En 1956 John Kelly, un físico de los Bell Labs, publicó “A New Interpretation of Information Rate”. Su planteo era un apostador que recibe los resultados de las carreras de caballos por un cable privado con ruido antes que los corredores de apuestas. La pregunta era cuánto debería apostar, sabiendo que los datos solo a veces son correctos. Si no apuesta nada, desperdicia la ventaja. Si apuesta todo, un dato equivocado lo funde. Kelly mostró que la apuesta que maximiza la tasa de crecimiento de largo plazo es la que maximiza el logaritmo esperado de la riqueza, y que la tasa que se alcanza es igual a la tasa de información del cable.

El logaritmo es el mismo de los textos anteriores. Convierte la composición en una suma, así que maximizar el logaritmo esperado es maximizar la tasa de crecimiento promedio a lo largo de una sola trayectoria en el tiempo.

#La moneda, otra vez

Volvé a la moneda del primer texto: cara multiplica lo que apostás por 1,5, ceca por 0,6. Apostar todo pierde alrededor del 5% por ronda, aunque cada tirada tenga valor esperado positivo. Ahora apostá solo una fracción $f$ de tu riqueza en cada ronda. Cara multiplica tu riqueza por $1 + 0{,}5f$, ceca por $1 - 0{,}4f$, y la tasa de crecimiento por ronda es

$$g(f) = 0{,}5 \ln(1 + 0{,}5f) + 0{,}5 \ln(1 - 0{,}4f)$$

Jugá con la fracción de abajo. El panel de arriba es $g(f)$; el de abajo muestra veinte jugadores que hacen cien apuestas cada uno con la fracción que elijas.

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Importan tres números:

• En 25% la tasa de crecimiento llega a su máximo, alrededor de 0,62% por ronda. Esa es la fracción de Kelly.
• En 50% es exactamente cero. Cara da $1{,}25$, ceca $0{,}8$, y $1{,}25 \times 0{,}8 = 1$. Apostar el doble de la fracción de Kelly no gana nada en el largo plazo, con toda la volatilidad de una apuesta mucho más grande.
• En 100% es alrededor de −5% por ronda, el juego perdedor del primer texto.

La curva es casi simétrica alrededor del máximo, pero sus consecuencias no. Apostar la mitad de Kelly conserva el 75% del crecimiento con la mitad de la volatilidad. Apostar el doble de Kelly no conserva nada.

#Medio Kelly

Por esa asimetría casi todos los que usan Kelly en la práctica apuestan una fracción de él. La fracción de Kelly solo es óptima si conocés las probabilidades exactas, y nunca las conocés. Si tu estimación de la ventaja es el doble de la real, el Kelly completo te deja en el punto de empate de la curva. Medio Kelly, con el mismo error, te deja en Kelly completo.

Las caídas cuentan la misma historia. En la versión en tiempo continuo del problema, Ed Thorp mostró que apostar una fracción $c$ de Kelly da una probabilidad de $x^{2/c - 1}$ de que tu riqueza caiga alguna vez a una fracción $x$ de donde empezó. Con Kelly completo, la probabilidad de quedarte alguna vez con la mitad es una en dos. Con medio Kelly, una en ocho. El Kelly completo maximiza el crecimiento, y el viaje es brutal.

#Para inversores

La misma lógica vale para cuánta plata tener en un activo riesgoso. Para retornos que se comportan como un movimiento browniano geométrico, la fracción de Kelly es

$$f^* = \frac{\mu - r}{\sigma^2}$$

donde $\mu - r$ es el retorno esperado por encima de la tasa libre de riesgo y $\sigma^2$ la varianza. Con una prima de las acciones de 5% anual y una volatilidad de 18%, el Kelly completo dice que tengas alrededor del 154% de tu riqueza en acciones, lo que implica endeudarte. Medio Kelly dice alrededor del 77%. Si la prima real es 3% en vez de 5%, el Kelly completo baja a alrededor del 93%, y el inversor que se endeudó para llegar a 154% está apostando muy por encima.

De ahí salen dos cosas. El apalancamiento no es gratis: pasada la fracción de Kelly, más exposición baja tu crecimiento de largo plazo, y el doble de Kelly lo lleva más o menos a la tasa libre de riesgo. Y como los datos de entrada son inciertos, la versión honesta de Kelly para un inversor es un rango bastante por debajo de la fórmula, no la fórmula misma.

#Verificado en Lean

La optimalidad está demostrada en lean-ergodicity para cualquier apuesta con dos resultados: una ganancia de $u$ por unidad apostada con probabilidad $p$, una pérdida de $d$ por unidad en el resto de los casos. Ninguna fracción que mantenga tu riqueza positiva crece más rápido que $(pu - (1-p)d)/(ud)$.

theorem kelly_optimal {p u d f : ℝ} (hp0 : 0 < p) (hp1 : p < 1) (hu : 0 < u) (hd : 0 < d)
    (hf1 : 0 < 1 + u * f) (hf2 : 0 < 1 - d * f) :
    growth p u d f ≤ growth p u d (kellyFraction p u d)

El mismo archivo demuestra que el crecimiento óptimo es estrictamente positivo cuando la apuesta tiene ventaja, que la fracción de Kelly de la moneda es exactamente un cuarto, y que apostar todo en ella achica tu riqueza. Un segundo archivo demuestra la versión para inversores: a partir de la tasa de crecimiento del movimiento browniano geométrico, el apalancamiento de Kelly $(\mu - r)/\sigma^2$ es óptimo, el doble de Kelly gana exactamente la tasa libre de riesgo, y medio Kelly conserva exactamente tres cuartas partes del crecimiento por encima de ella.

#Los límites

Kelly maximiza la tasa de crecimiento de la riqueza, que es lo que te importa si vas a apostar muchas veces y querés la mayor cantidad de plata en el largo plazo. No es la respuesta a todas las preguntas. Paul Samuelson pasó años sosteniendo que una persona con un horizonte fijo y otras preferencias puede elegir racionalmente otra cosa, y tenía razón en que Kelly es una elección, no una ley. En 1979 lo dijo en un artículo escrito entero con palabras de una sola sílaba (en inglés).

La fórmula también supone que conocés las probabilidades, que las apuestas son independientes y que el peor caso es el que está en tu modelo. Los mercados reales tienen colas pesadas, y la apuesta que te funde suele ser la que tu modelo decía que no podía pasar. Kelly con un modelo equivocado es apostar de más con una fórmula adjunta.

#Para seguir leyendo

• La ergodicidad, explicada: por qué la moneda pierde cuando apostás todo.
• El arrastre de la volatilidad: por qué el término de la varianza en la fórmula de Kelly es un costo.
• Las finanzas son geometría: Kelly, Jensen y la cobertura de colas en un solo argumento largo.
• John L. Kelly Jr. (1956). “A New Interpretation of Information Rate.” Bell System Technical Journal 35(4).
• Edward O. Thorp (2006). “The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market.” En Handbook of Asset and Liability Management, volumen 1.
• Paul A. Samuelson (1979). “Why We Should Not Make Mean Log of Wealth Big Though Years to Act Are Long.” Journal of Banking and Finance 3(4).