Puntos fijos y atractores

Traducción automática del original en inglés, todavía sin revisar. Leer el original.

Empezá con algo chico: un número, una regla y la paciencia de aplicar la regla otra vez.

¿Qué pasa cuando aplicás una regla una y otra vez?

La pregunta es lo bastante chica como para entrar en un primer curso de análisis, pero se abre a una cantidad sorprendente de matemática moderna. Una regla repetida puede asentarse en un punto fijo. Un punto fijo puede volverse un atractor. Un atractor puede dividirse. La división repetida puede volverse caos. El caos puede dejar atrás geometría fractal. La geometría fractal puede aparecer estadísticamente como leyes de potencia. Las leyes de potencia pueden volver inestables los promedios. Una vez que importan el tiempo y la recurrencia, entra la teoría de números. Una vez que un sistema puede codificarse y actuar sobre sí mismo, entran la lógica y la computación. Una vez que querés el mismo patrón sin que te importe si los objetos son números, programas, demostraciones o tipos, entra la teoría de categorías (category theory).

Voy a mantener el nivel deliberadamente concreto. Cada vez que aparezca una palabra más grande, la palabra tiene que ganarse su lugar.

#El vocabulario mínimo

Un sistema dinámico es un sistema cuyo estado cambia según una regla.

El estado es la información que necesitás para saber dónde está el sistema. En un ejemplo unidimensional, el estado puede ser un solo número $x$. Para un planeta, el estado puede incluir posición y velocidad. Para un mercado, puede incluir precios, inventarios, apalancamiento y creencias. Para un programa, puede incluir memoria, registros e input.

El conjunto de todos los estados posibles se llama espacio de estados (state space).

Si el tiempo avanza en pasos discretos, la regla suele verse así:

$$x_{n+1}=f(x_n).$$

Leelo así:

el próximo estado es igual a una función del estado actual.

La sucesión:

$$x_0,x_1,x_2,x_3,\ldots$$

se llama la órbita o trayectoria del punto inicial $x_0$.

Así que toda la pregunta se vuelve:

Si arranco acá y sigo aplicando la misma función, ¿adónde va la órbita?

Eso es todo lo que es un sistema dinámico discreto.

Si en cambio el tiempo es continuo, la regla se escribe en general como una ecuación diferencial:

$$\frac{dx}{dt}=F(x).$$

Leelo así:

la velocidad del estado está determinada por el estado actual.

Este artículo usa sobre todo la versión discreta porque ahí es más fácil ver la estructura de punto fijo. Pero las mismas ideas se aplican a las ecuaciones diferenciales.

#La repetición crea puntos fijos

Empezá con el sistema dinámico más simple posible:

$$x_{n+1} = f(x_n).$$

Elegís una condición inicial $x_0$, aplicás la regla una vez, obtenés $x_1$, aplicás la misma regla otra vez, obtenés $x_2$, y seguís. Con el tiempo puede pasar una de tres cosas:

1. la sucesión converge,
2. la sucesión cicla,
3. la sucesión se vuelve caótica.

El caso más limpio es la convergencia. Tomá:

$$f(x)=\frac{x+1}{2}.$$

El punto fijo es el valor $x^\star$ que cumple:

$$x^\star = f(x^\star).$$

Entonces:

$$x^\star = \frac{x^\star+1}{2}$$

y por lo tanto:

$$x^\star = 1.$$

La estrella en $x^\star$ es solo notación. Significa “el valor especial que estamos buscando”. Nada místico.

Lo que importa no es que $1$ resuelva la ecuación, sino que todo punto inicial termina atraído hacia ahí. Si $e_n=x_n-1$ es la distancia al punto fijo, entonces:

$$e_{n+1}=\frac{x_n+1}{2}-1=\frac{x_n-1}{2}=\frac{e_n}{2}.$$

Así que el error se reduce a la mitad en cada paso:

$$e_n = 2^{-n}e_0.$$

Eso es una contracción. Una contracción es una función que siempre acerca los puntos entre sí. Si dos inputs están a una unidad de distancia, sus imágenes pueden estar a solo media unidad. Aplicá la función otra vez y están a un cuarto de unidad. Seguí y la distancia colapsa.

Banach formalizó el teorema general: si un mapa acerca los puntos entre sí en un espacio métrico completo, la aplicación repetida converge a un único punto fijo.

Vale la pena enunciar el teorema porque es la versión más limpia de toda la escalera.

Sea $(X,d)$ un espacio métrico completo, y sea $f:X\to X$ tal que:

$$d(f(x),f(y))\leq q,d(x,y)$$

para todo $x,y\in X$ y alguna constante $0<q<1$. Entonces existe un único punto fijo $x^\star$ tal que:

$$f(x^\star)=x^\star,$$

y para todo punto inicial $x_0$:

$$x_n=f^n(x_0)\to x^\star.$$

Acá está la notación desarmada:

1. $X$ es el espacio de estados.
2. $d(x,y)$ es la distancia entre dos estados.
3. Completo significa que las sucesiones de Cauchy efectivamente convergen dentro del espacio. Para este ensayo, podés pensarlo como “no faltan puntos límite”.
4. $f^n(x_0)$ significa aplicar $f$ repetidamente $n$ veces.
5. $q<1$ es el factor de contracción.

La demostración es el mecanismo. Los iterados sucesivos forman una sucesión de Cauchy porque los saltos se achican geométricamente:

$$d(x_{n+1},x_n)\leq q^n d(x_1,x_0).$$

La completitud dice que la sucesión tiene límite. La continuidad de $f$ dice que el límite tiene que cumplir $f(x^\star)=x^\star$. La desigualdad de contracción dice que no puede haber dos puntos así, porque si $x^\star$ y $y^\star$ fueran ambos fijos:

$$d(x^\star,y^\star)=d(f(x^\star),f(y^\star))\leq qd(x^\star,y^\star),$$

lo cual es imposible salvo que la distancia sea cero.

Esta es la máquina básica de puntos fijos: contracción más completitud produce existencia, unicidad y convergencia. Más adelante el mismo patrón se vuelve más difícil de reconocer porque el espacio ya no es una recta. Puede ser un espacio de funciones, demostraciones, programas, medidas o tipos. Pero la pregunta sigue siendo la misma: ¿qué operación se está repitiendo, y qué deja invariante?

Banach no es el único teorema de punto fijo. Es simplemente el más limpio para empezar porque el mecanismo está a la vista: las distancias se achican.

Hay otras familias:

1. Puntos fijos de Brouwer. Un mapa continuo de un disco en sí mismo tiene un punto fijo. No hace falta ninguna contracción. Este es el teorema topológico detrás de muchos argumentos de equilibrio.
2. Puntos fijos de Kakutani. Una versión de Brouwer para funciones con valores en conjuntos. Es uno de los caminos hacia los equilibrios de Nash en teoría de juegos.
3. Puntos fijos de Knaster-Tarski. Una función monótona es una que preserva el orden: si $a\leq b$, entonces $f(a)\leq f(b)$. En un retículo completo, es decir, una colección ordenada donde toda subcolección tiene una cota superior mínima y una cota inferior máxima, una función así tiene un menor y un mayor punto fijo. Esto es fundamental en lógica, semántica y definiciones recursivas.
4. Puntos fijos de Kleene. Bajo condiciones de continuidad en espacios ordenados, el menor punto fijo se puede construir iterando desde el elemento mínimo.

Estos teoremas difieren en el tipo de estructura que requieren: contracción métrica, topología, convexidad u orden. Pero todos responden la misma pregunta: ¿cuándo una regla está obligada a dejar algo sin cambiar?

El caso del orden vuelve más adelante como la notación $\mu F$: el menor punto fijo de un funtor o de un constructor de tipos. En la semántica de lenguajes de programación, un tipo de datos recursivo se construye iterando hacia arriba desde la aproximación vacía, exactamente la imagen de Kleene en otra categoría.

Una aplicación conocida es PageRank. Una distribución de navegantes web se multiplica una y otra vez por una matriz de transición. El ranking es el vector estacionario:

$$\pi=\pi P.$$

Eso es un punto fijo. La idea original de Google no fue solo “los links son votos”; fue que la importancia se puede definir como la distribución estable de un proceso de navegación repetido.

#Simulación: contracción

Abrí esta simulación en Explorar →

Todo el fenómeno entra en unas pocas líneas:

def iterate(f, x0, n=20):
    xs = [x0]
    for _ in range(n):
        xs.append(f(xs[-1]))
    return xs

f = lambda x: (x + 1) / 2
paths = [iterate(f, x0) for x0 in [-0.5, 0.0, 1.25]]

Graficá esas trayectorias. Todas colapsan sobre $1$. La regla actúa repetidamente, y la repetición revela el punto fijo.

#El método de Newton: iteración de punto fijo en la práctica

El ejemplo de la contracción es deliberadamente simple. Una iteración de punto fijo más práctica es el método de Newton.

Supongamos que querés resolver:

$$g(x)=0.$$

El método de Newton reemplaza la ecuación por una iteración:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g’(x_n)}.$$

Definí:

$$N(x)=x-\frac{g(x)}{g’(x)}.$$

Entonces el método de Newton es:

$$x_{n+1}=N(x_n).$$

Una raíz de $g$ es un punto fijo de $N$, porque si $g(x^\star)=0$, entonces:

$$N(x^\star)=x^\star.$$

Cuando el método de Newton funciona bien, converge extremadamente rápido. Cerca de una raíz simple, el error se eleva al cuadrado en cada paso. Esto se llama convergencia cuadrática.

Pero el método de Newton también anticipa los fractales. En el plano complejo, si un polinomio tiene varias raíces, cada punto inicial fluye hacia una de ellas. Pintá cada punto inicial según la raíz a la que llega. Las cuencas de atracción muchas veces tienen bordes fractales. Los fractales de Newton atan puntos fijos, atractores, cuencas y geometría fractal en un solo algoritmo práctico.

Una versión moderna de la misma idea es el descenso por gradiente (gradient descent):

$$x_{n+1}=x_n-\eta\nabla L(x_n).$$

La regla baja por la pendiente de un paisaje de pérdida. Los puntos fijos cumplen:

$$\nabla L(x^\star)=0.$$

Así que los mínimos locales, los puntos de ensilladura y las regiones críticas planas son puntos fijos de la dinámica de optimización. Esta es una de las razones por las que el lenguaje de estabilidad, cuencas y atractores aparece naturalmente en machine learning.

La primera lección:

Las transformaciones repetidas crean puntos fijos.

Antes de seguir, notá algo sutil. El punto fijo no es un objeto extra importado desde afuera del sistema. Lo produce la regla misma. Vos no elegís $1$ como destino de $f(x)=(x+1)/2$. Lo elige la regla. Esto importa porque cada ejemplo posterior sigue el mismo patrón. El objeto de largo plazo no se diseña por separado. Es el objeto invariante que la repetición deja al descubierto.

#Los puntos fijos crean atractores

Ahora dejá de pensar en números aislados y pensá geométricamente.

Imaginá un espacio de estados. Un punto se mueve por él. La regla le dice adónde ir después. En lugar de un número que se actualiza con una fórmula, imaginá una bolita rodando sobre un paisaje.

Los valles son atractores.

Un atractor (attractor) es un destino de largo plazo para muchos puntos iniciales.

Un punto fijo es la ecuación estática:

$$f(x)=x.$$

Un atractor es el límite dinámico:

$$f^n(x)\to A.$$

Esta notación significa: aplicá $f$ a $x$ una y otra vez, y el resultado se acerca al conjunto $A$.

El primer enunciado dice que un punto se queda quieto cuando se aplica la regla. El segundo dice que toda una región de puntos iniciales termina atraída hacia la misma estructura.

Esa estructura no tiene por qué ser un solo punto. Puede ser:

1. un atractor puntual,
2. una órbita periódica,
3. un atractor extraño.

El punto fijo es el miembro más chico de una familia más grande. Es un atractor sin movimiento interno.

El objeto extra que necesitás es la cuenca de atracción (basin of attraction):

$$B(A)={x\in X:\operatorname{dist}(f^n(x),A)\to 0}.$$

Esta fórmula dice: la cuenca de $A$ es el conjunto de puntos iniciales que terminan atraídos hacia $A$.

Este conjunto muchas veces es más importante que el atractor mismo. Te dice qué condiciones iniciales terminan en el mismo régimen de largo plazo. En un sistema con una sola cuenca, predecir es más que nada una cuestión de velocidad de convergencia. En un sistema con varias cuencas, predecir pasa a ser una cuestión de bordes. Una perturbación mínima cerca del borde de una cuenca puede mandar al mismo sistema a un futuro distinto.

Por eso los atractores ya son objetos políticos, económicos y psicológicos, no solo matemáticos. Un hábito, un régimen de mercado, un equilibrio cultural, un estándar de protocolo, un ecosistema de lenguajes, una adicción personal: todos se pueden entender como cuencas. Más que un destino, el atractor es lo que lleva muchas historias distintas a la misma forma.

Esto también explica por qué “punto fijo” es una expresión demasiado chica para muchos sistemas reales. Una sociedad puede no asentarse nunca en un estado literal. Un mercado nunca deja de moverse. Una mente nunca se congela. Pero la trayectoria igual puede quedar confinada a una región, un estilo, un patrón recurrente. El punto fijo se volvió una forma invariante de movimiento.

La segunda lección:

Los atractores son puntos fijos vistos dinámicamente.

El puente de los puntos fijos a los atractores es el puente del álgebra a la geometría.

El álgebra pregunta:

$$f(x)=x.$$

La geometría pregunta:

$$f^n(U)\to A,$$

donde $U$ es toda una región de condiciones iniciales.

Son preguntas distintas. La primera identifica un punto. La segunda identifica el destino de largo plazo de un entorno. Un punto fijo puede existir algebraicamente y aun así ser dinámicamente irrelevante. Si los puntos cercanos se alejan de él, entonces el punto resuelve la ecuación pero no explica el comportamiento del sistema.

Esta es la primera gran mejora de la escalera. Dejamos de preguntar solo si existe un objeto invariante y empezamos a preguntar si el espacio que lo rodea está organizado por ese objeto. En análisis, el punto fijo es una solución. En dinámica, el punto fijo se vuelve un campo de fuerzas alrededor de una solución. La ecuación sigue ahí, pero ahora el objeto real es la cuenca: el conjunto de historias que terminan compartiendo el mismo destino.

Así que después de los puntos fijos, la siguiente pregunta natural no es “¿qué resuelve $f(x)=x$?” sino “¿qué atrae a los puntos cercanos hacia él?”

#Los parámetros crean bifurcaciones

Ahora introducí un parámetro.

En lugar de una regla, considerá una familia de reglas:

$$x_{n+1}=f_r(x_n).$$

El parámetro $r$ es simplemente una perilla. Cambiás la perilla y cambiás la regla. En un modelo de población, $r$ puede ser la tasa de crecimiento. En física, puede ser la temperatura. En mercados, puede ser el apalancamiento o la liquidez. En un sistema neuronal, puede ser la intensidad del acoplamiento.

El parámetro cambia el paisaje. A veces eso solo mueve el valle. A veces cambia la cantidad de valles.

Antes:

    \__/

Después:

  \_/  \_/

Eso es una bifurcación. Un futuro se vuelve dos futuros posibles.

Una bifurcación (bifurcation) es un cambio cualitativo en el comportamiento de largo plazo de un sistema a medida que cambia un parámetro. No un cambio numérico chico. Un cambio estructural.

El mapa logístico (logistic map) es el ejemplo canónico de clase:

$$x_{n+1}=r x_n(1-x_n).$$

Frená acá: el mapa logístico es la versión en miniatura de toda la serie.

La variable $x_n$ se interpreta en general como una población normalizada en el tiempo $n$, así que $0\leq x_n\leq 1$. El parámetro $r$ es la tasa de crecimiento. El término $rx_n$ dice que la población crece en proporción a su tamaño actual. El término $(1-x_n)$ dice que el crecimiento está limitado por el hacinamiento. Cuando $x_n$ es chico, $1-x_n$ está cerca de $1$, así que crecer es fácil. Cuando $x_n$ está cerca de $1$, $1-x_n$ está cerca de $0$, así que el crecimiento se frena.

Así que el mapa logístico es una competencia entre dos fuerzas:

1. amplificación: $rx_n$,
2. saturación: $1-x_n$.

Por eso se curva hacia abajo. No es una recta. Es una joroba.

Esa joroba importa. Los mapas lineales pueden converger o divergir, pero no pueden crear la ruta completa al caos por duplicación de período. El mapa logístico sí puede, porque expande algunas regiones, pliega el intervalo sobre sí mismo y mantiene todo acotado dentro de $[0,1]$ cuando $0\leq r\leq 4$.

Para $r$ chico, el sistema converge a un punto fijo. Aumentá $r$, y el punto fijo pierde estabilidad. Aparece un ciclo de período dos. Aumentá $r$ otra vez, y el ciclo de período dos se divide en un ciclo de período cuatro. Después período ocho. Después dieciséis.

El sistema no se está moviendo simplemente dentro del mismo paisaje. El paisaje mismo está cambiando.

La primera división se puede ver analíticamente. Para el mapa logístico:

$$f_r(x)=rx(1-x),$$

el punto fijo distinto de cero es:

$$x^\star = 1-\frac{1}{r}.$$

Un punto fijo es localmente estable cuando:

$$|f_r’(x^\star)|<1.$$

Esta condición sale del análisis de primer año. Cerca de un punto fijo, la función es aproximadamente lineal:

$$f(x^\star+h)\approx f(x^\star)+f’(x^\star)h.$$

Como $f(x^\star)=x^\star$, el error después de un paso es aproximadamente:

$$h_{n+1}\approx f’(x^\star)h_n.$$

Si $|f’(x^\star)|<1$, el error se achica. Si $|f’(x^\star)|>1$, el error crece. Eso es la estabilidad local.

Como:

$$f_r’(x)=r(1-2x),$$

obtenemos:

$$f_r’(x^\star)=r\left(1-2\left(1-\frac{1}{r}\right)\right)=2-r.$$

Así que la estabilidad requiere:

$$|2-r|<1,$$

o sea:

$$1<r<3.$$

En $r=3$, el punto fijo pierde estabilidad. El sistema no se vuelve simplemente ruidoso. Aparece un nuevo objeto estable: una órbita de período dos. El punto fijo sigue presente algebraicamente, pero ya no atrae. El futuro cambió porque cambió la estructura de atractores.

Esa oración es la clave. El viejo punto fijo no desaparece. Pierde estabilidad. El mapa todavía tiene la solución $x^\star=1-1/r$, pero los puntos cercanos ya no se asientan ahí. Rebotan alrededor. La estabilidad pasó de un punto a un ciclo.

Una órbita de período dos es un par de puntos $a,b$ tales que:

$$f_r(a)=b,\qquad f_r(b)=a.$$

Equivalentemente:

$$f_r^2(a)=a.$$

Así que una órbita de período dos es un punto fijo del segundo iterado $f_r^2$, no de $f_r$ misma. Una órbita de período cuatro es un punto fijo de $f_r^4$. Una órbita de período ocho es un punto fijo de $f_r^8$.

Por eso la duplicación de período (period doubling) pertenece a un ensayo sobre puntos fijos. El sistema sigue creando puntos fijos de iterados más altos:

$$f_r^{2^k}(x)=x.$$

El atractor ya no es un punto en la dinámica original de un paso, pero sigue siendo un punto fijo cuando se lo mira en la escala de tiempo correcta. Lo único que cambió es el nivel desde el que mirás.

Esto también prepara la conexión con los fractales. Cada vez que el período se duplica, el gráfico de los estados de largo plazo se ramifica. Hacé zoom en el diagrama de bifurcación cerca del inicio del caos y el mismo patrón reaparece: las ramas se dividen en ramas más chicas, que se dividen en ramas más chicas, con proporciones controladas por las constantes de Feigenbaum. El diagrama de bifurcación es más que un gráfico; es un objeto autosimilar generado por la composición repetida del mismo mapa.

#Simulación: la derivada de estabilidad

Abrí esta simulación en Explorar →

Que el lector mueva $r$ y se le muestre el punto fijo:

$$x^\star=1-\frac{1}{r}.$$

Al lado, mostrar:

$$|f_r’(x^\star)|=|2-r|.$$

El momento importante es:

$$|f_r’(x^\star)|=1$$

en:

$$r=3.$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

r = np.linspace(1.1, 4.0, 500)
x_star = 1 - 1 / r
stability = np.abs(2 - r)

fig, ax = plt.subplots(2, 1, sharex=True)
ax[0].plot(r, x_star)
ax[0].set_ylabel("fixed point")

ax[1].plot(r, stability)
ax[1].axhline(1, color="black", linestyle="--")
ax[1].axvline(3, color="red", linestyle="--")
ax[1].set_xlabel("r")
ax[1].set_ylabel("|f'(x*)|")

Lo que el lector debería ver: el punto fijo no desaparece en la primera bifurcación. Pierde estabilidad. El atractor pasa de un punto a un ciclo.

#Simulación: diagrama de telaraña

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El diagrama de telaraña (cobweb) es la imagen estándar para un mapa unidimensional. Dibujá la curva $y=f(x)$ y la diagonal $y=x$. Desde $x_0$, movete en vertical hasta la curva y después en horizontal hasta la diagonal. Ese movimiento horizontal convierte el output $f(x_0)$ en el siguiente input $x_1$. Repetir la escalera muestra convergencia, ciclos o inestabilidad.

#Simulación: bifurcación logística

Abrí esta simulación en Explorar →

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rs = np.linspace(2.5, 4.0, 2000)
xs_r = []
ys = []

for r in rs:
    x = 0.5
    for _ in range(1000):
        x = r * x * (1 - x)
    for _ in range(200):
        x = r * x * (1 - x)
        xs_r.append(r)
        ys.append(x)

plt.plot(xs_r, ys, ",", color="black", alpha=0.35)
plt.xlabel("r")
plt.ylabel("long-run x")

La tercera lección:

Las bifurcaciones cambian la estructura de atractores.

El puente de los atractores a las bifurcaciones es el parámetro.

Un parámetro convierte un sistema dinámico en una familia de sistemas dinámicos. Suena inocente, pero cambia la pregunta por completo. Con un sistema, preguntás cuáles son los atractores. Con una familia de sistemas, preguntás cómo los atractores nacen, se mueven, se dividen, chocan y desaparecen a medida que cambia el parámetro.

Acá es donde la estabilidad se vuelve histórica. Un punto fijo puede ser estable hoy e inestable mañana porque un parámetro cruzó un umbral. El punto no se esfumó como solución; perdió su autoridad sobre las trayectorias cercanas. Esa pérdida de autoridad es exactamente lo que registra una bifurcación.

Por eso a la teoría de bifurcaciones no le interesa cada pequeño cambio numérico. Si un punto fijo se mueve de $0.41$ a $0.42$, el sistema cambió cuantitativamente. Si un punto fijo atractor se vuelve un ciclo atractor de período dos, el futuro cambió cualitativamente. El mapa de futuros posibles cambió su topología.

El movimiento conceptual es:

$$\text{long-run destination} \quad\longrightarrow\quad \text{change in the set of destinations}.$$

Ese movimiento es lo que le permite al ensayo pasar de la convergencia al caos. El caos no llega de la nada. Llega porque la estructura de atractores sigue cambiando.

El resumen invariante de este ensayo es:

$$ x_{n+1}=f(x_n) $$

crea la primera pregunta de punto fijo:

$$ f(x^\star)=x^\star. $$

Pero la verdadera pregunta dinámica es más grande:

$$ f^n(x_0)\longrightarrow A, $$

donde $A$ puede ser un punto, un ciclo, una cuenca o un atractor más complicado. Los parámetros, a su vez, cambian $A$. Esa es la puerta al próximo ensayo: bifurcaciones, caos y conjuntos invariantes fractales.

#Lecturas recomendadas

1. Steven Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos. El mejor primer libro para puntos fijos, estabilidad, bifurcaciones y el mapa logístico.
2. Robert May, Simple mathematical models with very complicated dynamics (1976). El paper corto clásico que hizo famoso al mapa logístico fuera de la dinámica pura.
3. James Munkres, Topology. Contexto útil para pensar puntos fijos al estilo de Brouwer.
4. Alfred Tarski, A lattice-theoretical fixpoint theorem (1955). La fuente de los puntos fijos de Knaster-Tarski.
5. Heinz-Otto Peitgen y Peter Richter, The Beauty of Fractals. Una entrada visual a los fractales de Newton y las cuencas de atracción.
6. Henri Poincaré, Science and Method (1908). Donde empiezan el pensamiento de sistemas dinámicos y la dependencia sensible de las condiciones iniciales: pequeñas diferencias en las condiciones iniciales que producen diferencias enormes en los fenómenos finales.