Caos y puntos fijos
Qué hace la iteración: contracción hacia un punto fijo, diagramas de telaraña, pérdida de estabilidad, el mapa logístico, la constante de Feigenbaum, el mapa tienda, el conjunto de Cantor, el paisaje de Waddington, el mapa de Gauss y las fracciones continuas, los divisores pequeños, los tipos de datos recursivos, el argumento diagonal y el teorema del punto fijo de Lawvere.
Traducción automática del original en inglés, todavía sin revisar. Leer el original.
Trece simulaciones sobre qué pasa cuando aplicás la misma regla una y otra vez. Las primeras convergen. Después la convergencia falla de manera ordenada, y esa falla ordenada resulta tener una estructura universal. Las últimas cuatro son la misma idea en lógica y teoría de tipos, donde un punto fijo de la autoaplicación es el eje sobre el que giran Gödel, Turing y Cantor. Todo acá es determinista: no hay azar en ninguna parte de esta página.
Contracción hacia un punto fijo
¿Qué hace que un proceso repetido se estabilice?
Probá esto. Arrancá las corridas desde lugares muy distintos. Llegan al mismo punto, y la distancia cae en el mismo factor en cada paso, sin importar dónde empezaste.
Supuestos y límites. Esto es el teorema del punto fijo de Banach con un mapa particular, y funciona porque ese mapa es una contracción. La mayoría de las iteraciones no lo son, y nada de lo que hay acá te dice si una en particular lo es.
Ensayo: Puntos fijos y atractores · Código
Leer la iteración en un gráfico
¿Cómo ves el futuro de una iteración sin calcularlo?
Probá esto. Seguí un paso por vez y mirá cómo se forma la escalera. Donde la curva cruza la diagonal con poca pendiente, el camino entra en espiral; donde la cruza con mucha pendiente, sale en espiral. La pendiente en el cruce es toda la historia.
Supuestos y límites. Solo funciona para mapas deterministas de una dimensión. Los sistemas de más dimensiones no tienen un dibujo equivalente, y eso es parte de por qué cuesta más razonar sobre ellos.
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Perder la estabilidad
¿Puede un punto fijo seguir existiendo después de que deja de importar?
Probá esto. Pasá r por 3 despacio. El punto fijo no desaparece, sigue siendo una solución, pero los estados cercanos dejan de ir hacia él, y eso lo vuelve inobservable en la práctica.
Supuestos y límites. El test de la derivada es local. Te dice qué les pasa a los estados que ya están cerca del punto fijo y nada sobre el comportamiento que arranca lejos.
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El mapa logístico
¿Cómo una regla sin nada de azar produce algo que parece aleatorio?
Probá esto. Subí r de a poco y contá las ramas: una, dos, cuatro, ocho, y después una nube. Después buscá adentro de la nube las ventanas periódicas, donde el orden vuelve sin aviso.
Supuestos y límites. Es completamente determinista. La irregularidad es sensibilidad a las condiciones iniciales, no ruido: el mismo punto de partida da siempre el mismo camino. Esa diferencia importa, porque los datos reales tienen las dos cosas.
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La constante de Feigenbaum
¿El camino hacia el caos es el mismo en sistemas que no tienen nada que ver entre sí?
Probá esto. Medí la distancia entre duplicaciones sucesivas y sacá los cocientes. Se acercan a 4,669, un número que aparece en canillas que gotean y en fluidos con convección tanto como en este mapa.
Supuestos y límites. La universalidad vale para una clase: mapas unimodales con un máximo cuadrático. Es un teorema real sobre una clase real, no la afirmación de que todo sistema que se acerca al caos hace esto.
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Estirar y plegar
¿Qué es el caos, geométricamente?
Probá esto. Arrancá dos puntos separados por un pelo y avanzá. Estirar los separa; plegar los mantiene dentro del intervalo. Divergir sin escaparse es todo el mecanismo.
Supuestos y límites. Es lineal a trozos e idealizado, y eso es lo que hace visible el mecanismo. Los sistemas suaves hacen lo mismo de forma menos legible.
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El conjunto de Cantor
¿Cómo se ve, de verdad, una estructura en todas las escalas?
Probá esto. Avanzá las etapas de a una. Cada etapa son dos copias achicadas de la anterior: el conjunto es un punto fijo de su propia regla de construcción.
Supuestos y límites. El conjunto de Cantor real es el límite de infinitas etapas. La pantalla muestra una aproximación finita, y los píxeles ponen un piso a qué tan lejos se puede dibujar la autosimilitud.
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Una cuenca se vuelve dos
¿Cómo un sistema con un solo estado estable termina con dos?
Probá esto. Pasá el parámetro por la división. Antes hay un solo lugar donde terminar y la elección no existe. Después, el estado viejo es una cresta y el resultado depende de para qué lado cae un empujoncito.
Supuestos y límites. El paisaje de Waddington era una metáfora; esto lo vuelve concreto como una bifurcación de horquilla en una variable. La diferenciación real involucra muchos genes que interactúan y no es unidimensional.
Ensayo: La vida como doble punto fijo · Código
Las fracciones continuas como dinámica
¿Qué tiene que ver aproximar un número con el caos?
Probá esto. Cambiá apenas el número inicial y compará las secuencias de dígitos. Divergen, y ese es el punto: la aritmética de la aproximación es una órbita caótica.
Supuestos y límites. Punto flotante. Después de suficientes pasos, la órbita calculada se fue por completo de la verdadera: una demostración honesta de sensibilidad, y una razón para no leer los últimos dígitos como exactos.
Ensayo: Teoría de números y la aritmética de la recurrencia · Código
Divisores pequeños
¿Qué números son los más difíciles de aproximar con fracciones, y por qué importa?
Probá esto. Compará la razón áurea con un número que tenga un coeficiente grande en su fracción continua. Las casi resonancias que toca el segundo son los divisores pequeños que arruinan las series de perturbaciones.
Supuestos y límites. Es una ilustración de la aproximación diofántica sobre un rango finito de denominadores, no la prueba de ningún resultado sobre ella.
Ensayo: Teoría de números y la aritmética de la recurrencia · Código
Los tipos de datos como puntos fijos
¿En qué sentido una lista es la solución de una ecuación?
Probá esto. Desplegá paso a paso. Cada despliegue mete la definición dentro de sí misma; el caso vacío es lo que hace que el proceso termine en vez de seguir para siempre.
Supuestos y límites. Es un esquema de un álgebra inicial. Ignora la evaluación estricta, la evaluación perezosa y la pregunta de qué ecuaciones de este tipo tienen solución, y un type system real tiene que responder todo eso.
Ensayo: Lógica, autorreferencia y teoría de categorías · Código
El argumento diagonal
¿De dónde sale la autorreferencia?
Probá esto. Seguí la construcción: una representación entra en la regla que interpreta representaciones, y el resultado se refiere a sí mismo. No se mete nada de contrabando: la autorreferencia la produce la retroalimentación.
Supuestos y límites. Es el esqueleto del argumento, no una prueba formal. La versión de Gödel necesita aritmetización, que es la parte difícil y acá no se muestra.
Ensayo: Lógica, autorreferencia y teoría de categorías · Código
El teorema del punto fijo de Lawvere
¿Hay un solo teorema debajo de Gödel, Turing y Cantor?
Probá esto. Repetí la cadena y fijate dónde se bifurca. O todo endomapa tiene un punto fijo, o la representación que supusiste no puede existir. Los famosos resultados de imposibilidad son la segunda rama.
Supuestos y límites. Supone una categoría cartesiana cerrada. Pasar del enunciado abstracto a cualquier teorema de incompletitud concreto lleva un trabajo real que esta repetición se saltea.
Ensayo: Lógica, autorreferencia y teoría de categorías · Código