Pilas de arena y crashes: cómo los sistemas se afinan solos hasta el borde

Traducción automática del original en inglés, todavía sin revisar. Leer el original.

El ensayo anterior terminó con un enigma que no resolvió. Los mercados, sostenía, están cerca de un punto crítico, el filo de navaja donde un shock mínimo puede propagarse en cascada hasta convertirse en un movimiento enorme. Pero las transiciones de fase son quisquillosas. El agua se vuelve hielo a una temperatura exacta. Un imán pierde su magnetismo en un punto exacto de la perilla. Para estar cerca de un borde así, normalmente algo tiene que sostener la perilla ahí con mucho cuidado.

Entonces, ¿quién sostiene la perilla del mercado? ¿Quién afina a millones de traders independientes para que se mantengan en equilibrio cerca del borde?

La respuesta, que encontraron en 1987 tres físicos, es que nadie. Algunos sistemas caminan solos hasta el borde y se quedan ahí. Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld lo llamaron criticidad autoorganizada (self-organized criticality), y el juguete que usaron para mostrarlo fue una pila de arena.

#I. Una pila de arena

Tirá arena sobre una mesa, de a un grano por vez. Al principio los granos se quedan donde caen. La pila crece, los costados se vuelven más empinados, y de vez en cuando un grano que agregás rueda un poco y suelta a otro. Seguí y la pendiente llega a una inclinación que no puede superar. Agregá un grano más ahí y puede que no pase nada, o que haya un pequeño deslizamiento, o un derrumbe que se lleva toda una cara de la pila de una vez. A partir de ahí la pila mantiene esa pendiente. Le agregás arena y suelta arena, a los tirones, para siempre.

Esa es toda la idea, y se reduce a una regla lo bastante simple como para correrla en una grilla. Dale a cada celda una cantidad de granos. Tirá un grano en una celda al azar. Si una celda llega a tener cuatro o más, se desmorona: le da un grano a cada uno de sus cuatro vecinos y se queda con el resto. Los granos que se caen por el borde de la grilla desaparecen. Un vecino que acaba de recibir un grano puede tener ahora cuatro, así que también se desmorona, y el derrame puede seguir y seguir. Contá cuántos desmoronamientos desata un solo grano agregado. Esa cuenta es la avalancha.

A la izquierda, la pila después de asentarse en su estado autoorganizado, con las celdas distribuidas por debajo del umbral de desmoronamiento. A la derecha, la huella de una avalancha: cada celda que se desmoronó después de que cayera un solo grano.

Empezá con la grilla vacía y andá dejando caer granos. Al principio pasa poco. La pila se llena, las celdas se cargan, aparecen las primeras avalanchas. Al rato se asienta en el estado de la izquierda, cargada en toda la grilla y cerca del borde del desmoronamiento. Llegó ahí sola. Nadie fijó la pendiente. La pila la encontró y se queda ahí.

Correlo vos mismo. Las celdas rojas son la última avalancha. La mayoría de los granos casi no mueven nada, pero cada tanto uno recorre una gran parte de la pila. El histograma de la derecha va armando la huella mientras la pila corre.

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#II. Avalanchas de todos los tamaños

Ahora viene la parte sorprendente. Registrá el tamaño de cada avalancha, es decir, cuántos desmoronamientos desata cada grano agregado, y contá con qué frecuencia aparece cada tamaño. Primero adiviná: ¿hay una avalancha típica, como las alturas de las personas se agrupan alrededor de un promedio? No te da eso. Te da esto.

En un gráfico log-log los tamaños de avalancha caen sobre una línea recta. Eso es una ley de potencias, y significa que no hay una avalancha típica. La curva roja muestra cómo sería un mundo con un tamaño típico, donde algo mucho más grande que el promedio prácticamente nunca pasa. La pila vive en otro lado.

Una línea recta en un gráfico log-log es una ley de potencias (power law), y una ley de potencias no tiene escala característica. Las avalanchas chiquitas son comunes, las grandes son raras, las enormes todavía más raras, pero todas están sobre la misma pendiente suave. No hay un tamaño especial donde la pila diga “esta es normal y aquella es un monstruo”. La curva roja es la intuición de la campana de Gauss, un mundo con un tamaño típico donde los eventos grandes son en la práctica imposibles. La pila vive en otro lado. Las avalanchas grandes son raras, pero siempre están en el menú.

Acá viene la parte que debería sonarte del ensayo anterior. Todos los granos son idénticos. El grano que desata una cascada de mil celdas es exactamente igual a los millones de granos que no hicieron nada. La avalancha grande no tiene una causa especial. Es el mismo proceso que una avalancha chica que siguió de largo. Un crash sin causa, metido en las reglas.

#III. La calma es la preparación

Mirá las avalanchas a lo largo del tiempo y el patrón es una advertencia en sí mismo.

Largos tramos de quietud interrumpidos por cascadas repentinas, todo a partir del mismo goteo constante de granos idénticos. La quietud y la cascada son el mismo estado en distintos momentos: carga y descarga.

No cambia nada en la entrada. Los granos siguen llegando al mismo ritmo, todos iguales. Pero la salida es una calma larga interrumpida por un colapso repentino. La calma y la cascada pertenecen al mismo régimen, una cargando en silencio y la otra descargando. Cada grano tranquilo empuja la pila un poquito más cerca del próximo derrumbe. La quietud es el sistema cargándose a sí mismo.

#IV. Qué significa “autoorganizada”

Esta es la pieza que le faltaba al ensayo anterior. El modelo del imán necesitaba que alguien fijara a mano la temperatura cerca de su valor crítico. La pila de arena no necesita a nadie. Tres ingredientes simples hacen el ajuste automáticamente: un impulso lento, los granos agregados suavemente de a uno; un umbral, la regla de que una celda aguanta hasta llegar a cuatro y recién ahí suelta; y una fuga, los granos que se caen por los bordes y se van.

Juntá eso y la pila se lleva sola a la pendiente crítica y se queda ahí. Empujala demasiado y las avalanchas se llevan el exceso; dejá que se afloje y el goteo la vuelve a armar. El sistema cae hacia el estado crítico desde donde sea que arranque.

Vale la pena conectar esto con la imagen de los atractores del ensayo anterior. Ahí el punto crítico era un filo de navaja al que alguien tenía que llevar la perilla a mano, la frontera inestable entre dos ánimos estables. La criticidad autoorganizada convierte esa frontera en un destino. El impulso lento, el umbral y la fuga hacen que el estado crítico mismo sea un atractor de la dinámica de la pila, y cada avalancha es el empujoncito correctivo que devuelve la pila al borde después de que se pasa. Nada tiene que mantener al mercado en equilibrio sobre el borde por suerte o con una mano cuidadosa. La carga y las cascadas lo llevan ahí y lo mantienen ahí.

Hay una palabra con la que vale la pena ser preciso. Una pila idealizada, infinitamente grande, estaría exactamente en la pendiente crítica. Una real, finita y perturbada todo el tiempo, ronda justo por debajo, se pasa y se vuelve a asentar. Esa brecha no es vaguedad de la teoría, es la diferencia entre el punto crítico limpio de una ecuación y la versión inquieta y forzada en la que vive un mercado de verdad. De cualquier forma la moraleja se sostiene, y responde la pregunta con la que arrancamos: nadie afina el mercado hasta el borde, porque un mercado que no para de cargar riesgo y de soltarlo en cascadas se afina solo hasta ahí.

#V. La misma huella en todas partes

La afirmación de Bak iba más allá de la arena. La misma firma, eventos de todos los tamaños sin escala típica y sin causa especial, aparece en toda la naturaleza. Los terremotos la cumplen: la ley de Gutenberg-Richter dice que un terremoto diez veces más grande es un factor fijo más raro, una línea recta en un gráfico log-log, y un gran terremoto es apenas un temblor chico cuya ruptura siguió de largo. La siguen los incendios forestales, y las erupciones solares, y las avalanchas de nieve de verdad, y las ráfagas de disparos en redes de neuronas, y hasta los tamaños de las extinciones en el registro fósil. Maquinarias distintas, la misma forma estadística. Es de nuevo la universalidad del ensayo anterior. Cerca del estado crítico los detalles dejan de importar y solo sobrevive el patrón a gran escala, que es justamente por qué un modelo de arena puede tener algo que decir sobre un mercado.

#VI. Los mercados como pilas de arena

La correspondencia con las finanzas es concreta, aunque siga siendo una analogía y no una identidad. Los granos son el riesgo que se acumula: apalancamiento que se toma, posiciones que se amontonan en los mismos trades, órdenes de stop-loss apiladas en precios parecidos, promesas de entrega que dependen en silencio de que todos los demás cumplan. El impulso lento es un mercado tranquilo cualquiera, donde el riesgo se acumula justamente porque últimamente no salió nada mal. El desmoronamiento es la venta forzada: un llamado de margen, un stop que se dispara, un fondo que tiene que liquidar, lo que empuja el precio para abajo, lo que dispara el siguiente stop, lo que vuelve a empujar el precio. Una venta desata la siguiente, exactamente como una celda que se desmorona y se derrama sobre sus vecinas.

El 19 de octubre de 1987 es el caso de manual. Para entonces un producto llamado seguro de cartera (portfolio insurance) cubría algo así como 80.000 millones de dólares en tenencias, todos siguiendo la misma regla mecánica: cuando los precios caen, vender futuros sobre el índice para cubrirse. Como todos corrían la misma regla, la caída inicial de ese lunes les dijo a todos que vendieran a la vez, la venta llevó los precios más abajo, los precios más bajos les dijeron a los programas que vendieran todavía más, y el bucle se alimentó solo. La Comisión Brady, que investigó el crash, encontró que los diez mayores vendedores explicaban la mitad de todo el volumen de los futuros que no venía de formadores de mercado ese día. El Dow cayó 22,6 por ciento en una sola rueda, el peor día de su historia, sin ninguna noticia ni de cerca lo bastante grande para explicarlo. Una pila cargada de reglas de venta automáticas idénticas, y un día bajista común y corriente para arrancar el derrumbe.

Y la salida es la ley de potencias. Los movimientos del mercado tienen colas demasiado pesadas para una campana de Gauss. Los movimientos grandes son demasiado frecuentes, y caen más o menos sobre una línea recta en un gráfico log-log, una ley de potencias como la pila de arena y los terremotos, aunque con un exponente propio más empinado. Gabaix y sus colegas, revisando decenas de millones de operaciones, encontraron que la cola de los grandes movimientos de precio sigue de cerca una ley de potencias de cubo inverso, estable entre mercados y décadas. Las colas pesadas (fat tails) del ensayo anterior son la distribución de avalanchas de un mercado que se cargó solo cerca del borde. Este es el mecanismo debajo de la medición con la que terminamos la vez pasada. El hallazgo de Bouchaud de que los mercados están cerca de la criticidad es lo que uno esperaría de un sistema que se autoorganiza.

#VII. La eficiencia es el camino al borde

Hay algo que pica en esto para cualquiera que maneje algo. ¿Qué empuja a un mercado, o a una cadena de suministro, o a una red eléctrica, hacia el borde crítico? La respuesta de Bouchaud, en su revisión del campo de 2024, es incómoda. Es la búsqueda de eficiencia.

Un sistema eficiente no tiene holgura. Se usa cada recurso, se recorta cada colchón, cada parte se acopla fuerte con la siguiente para que no se desperdicie nada. Esa es también una descripción justa de una pila de arena en la pendiente crítica: cargada al máximo, sin nada de sobra, cada celda lista para pasar una perturbación. La holgura es justamente lo que mantiene a un sistema por debajo del borde. La redundancia, el inventario, el capital ocioso, los traders que no están de acuerdo entre sí: todo eso parece desperdicio en las épocas buenas, y todo eso es lo que impide que un problema local se convierta en una cascada en todo el sistema.

Así que la elección es un tradeoff real y no una falla de optimización. Podés tener un sistema lo más eficiente posible o uno resiliente, pero la misma palanca mueve los dos, en direcciones opuestas. Las cadenas de suministro just-in-time lo aprendieron cuando un barco atascado o una fábrica cerrada se propagó por todo el mundo. Los sistemas financieros fuertemente acoplados y muy apalancados lo vuelven a aprender cada década, más o menos. La frase de Bouchaud, que la búsqueda de eficiencia y la necesidad de resiliencia pueden ser incompatibles, es la pila de arena hablando.

#VIII. Qué se puede y qué no se puede hacer con esto

La pila de arena es honesta con sus límites, y vale la pena decirlos sin vueltas.

El disparador no te dice si se viene el grande. Todos los granos son iguales, así que “qué causó el crash” casi no tiene sentido. La respuesta honesta es la pendiente, no el grano, y buscar en las noticias la causa de una cascada endógena es buscar un grano que nunca fue especial.

Pero sí podés saber sobre qué tipo de sistema estás parado. Si los movimientos del mercado siguen una ley de potencias, entonces las cascadas grandes no son casualidades que se puedan eliminar con ingeniería. Son un rasgo permanente del sistema. No podés decir cuándo va a llegar una, pero podés dejar de sorprenderte, y podés actuar sobre la pendiente en lugar del grano: tené holgura, recortá el apalancamiento y el acoplamiento fuerte donde puedas, y leé una calma larga como carga y no como seguridad.

Eso deja una pregunta colgando. Si las cascadas grandes vienen de fábrica, y el disparador no dice nada, ¿hay algo en la previa que sí diga algo? ¿Se puede ver que la pendiente se vuelve peligrosa antes de que ceda? Ahí es justamente donde Sornette dice que sí y Taleb dice que no, y es hacia donde va esta serie.

#Lecturas recomendadas

La idea original:

• Bak, P., Tang, C., and Wiesenfeld, K. (1987). Self-Organized Criticality: An Explanation of 1/f Noise. Physical Review Letters, 59(4).
• Bak, P. (1996). How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality. Copernicus.

Leyes de potencias en la naturaleza y en los mercados:

• Gutenberg, B., and Richter, C. F. (1944). Frequency of Earthquakes in California. Bulletin of the Seismological Society of America, 34(4).
• Gabaix, X., Gopikrishnan, P., Plerou, V., and Stanley, H. E. (2003). A Theory of Power-Law Distributions in Financial Market Fluctuations. Nature, 423.
• Gabaix, X. (2009). Power Laws in Economics and Finance. Annual Review of Economics, 1.

La criticidad autoorganizada en finanzas, y el tradeoff de la eficiencia:

• Bouchaud, J.-P. (2024). The Self-Organized Criticality Paradigm in Economics and Finance. arXiv:2407.10284.

La cascada de 1987:

• Presidential Task Force on Market Mechanisms. (1988). Report of the Presidential Task Force on Market Mechanisms.
• Federal Reserve History. Stock Market Crash of 1987.